क्या आपके पास लॉटरी जीतने का मौका है

2024 लेखक: Malcolm Clapton | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 03:57

गणित आपको जीतने की संभावना की गणना करने और यह निर्धारित करने में मदद करेगा कि कौन सा अधिक लाभदायक है: एक गेम के लिए 10 लॉटरी टिकट खरीदें या 10 अलग-अलग लोगों के लिए टिकट।

अमेरिकी टीवी श्रृंखला "4isla" (Numb3rs) में, मुख्य पात्र एक गणितज्ञ है जो अपराधों को सुलझाने में एफबीआई की मदद करता है। एक एपिसोड में, वह वाक्यांश कहता है कि लॉटरी टिकट के लिए रास्ते में मारे जाने की संभावना लॉटरी जीतने की संभावना से अधिक है। लेख के अंत में, मैं इस कथन से संबंधित एक गणना दूंगा, लेकिन अब मैं बड़े पैमाने पर जुए के पीछे के गणित के बारे में थोड़ी बात करना चाहता हूं और यह कैसे आपकी संभावनाओं को थोड़ा बढ़ाने में आपकी मदद कर सकता है।

नियम 1. जोखिमों का आकलन करें

एक आधुनिक शिक्षित व्यक्ति के लिए यह कोई रहस्य नहीं है कि कैसीनो और विभिन्न जुआ प्रतिष्ठान अपने सभी खेलों की गणना इस तरह से करते हैं कि हमेशा विजेता बनें और लाभ प्राप्त करें। यह बहुत सरलता से किया जाता है: एक व्यक्ति को जीत वापस करने की आवश्यकता होती है, जो उसके जीतने की संभावना की तुलना में उसके दांव से नीचे की ओर सहसंबद्ध होती है।

हां, एक तरह से या किसी अन्य, यहां तक कि सबसे जटिल गणितीय मॉडल औसतन एक चीज को उबालते हैं: यदि आप 1 रूबल की शर्त लगाते हैं, और आपको 1,000 रूबल प्राप्त करने की पेशकश की जाती है, तो आपके जीतने की संभावना 1/1000 से कम है।

कोई अपवाद नहीं है, जब तक कि कोई विशेष रूप से आपको पैसे नहीं देना चाहता। स्थिति पर हमेशा संयम से विचार करने के लिए इस सरल नियम को ध्यान में रखें।

गेम थ्योरी किसी भी रणनीति का उसी तरह मूल्यांकन करती है: जीतने की संभावना उसके आकार से कई गुना बढ़ जाती है। मोटे तौर पर, गणित का मानना है कि 1,000 रूबल की गारंटी प्राप्त करना 50% संभावना के साथ 2,000 रूबल प्राप्त करने जैसा है। यह सिद्धांत आपको विभिन्न खेलों की एक दूसरे के साथ तुलना करने की क्षमता देता है। कौन सा बेहतर है: 1/100,000 मौके के साथ एक मिलियन डॉलर या 1/4 मौके के साथ 50 डॉलर? सहज रूप से, ऐसा लगता है कि पहला वाक्य अधिक दिलचस्प है, लेकिन गणितीय रूप से, दूसरा अधिक लाभदायक है।

यदि आप केवल गणित के ढांचे के भीतर रहते हैं, तो आप गणना कर सकते हैं: कैसीनो में जीतना असंभव है, क्योंकि कोई भी चुनी हुई रणनीति इस तथ्य की ओर ले जाती है कि खिलाड़ी के लिए भुगतान के आकार से जीतने की संभावना का उत्पाद हमेशा होता है वह पहले से लगाए गए दांव से कम है।

हालांकि, लोग खेलते हैं क्योंकि उनके लिए लाभ न केवल पैसे में होता है, बल्कि प्रक्रिया से भावनाओं में भी होता है - और इससे भी ज्यादा जीत से।

और इसलिए भी कि हमारे लिए पैसा अरेखीय है: औपचारिक रूप से अभी 1 रूबल प्राप्त करना 1 / 1,000,000 की संभावना के साथ एक मिलियन रूबल प्राप्त करने जैसा है, लेकिन वास्तव में, रूबल का नुकसान हमारी स्थिति को किसी भी तरह से प्रभावित नहीं करेगा, कुछ भी नहीं बदलेगा जीवन में, लेकिन एक लाख प्राप्त करना एक बहुत ही गंभीर घटना है।

नियम 2. खुले में खेलें

दुर्भाग्य से, हम लॉटरी की भीतरी रसोई में प्रवेश नहीं कर सकते। लेकिन ड्रॉ कैसे हो रहा है, इसकी कम से कम औपचारिक प्रक्रिया को समझना उपयोगी है।

उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध स्लॉट मशीन "वन-आर्म्ड बैंडिट" और अन्य स्लॉट मशीनें वास्तव में एक चाल हैं: खिलाड़ी द्वारा देखे जाने वाले पहिये पर विभिन्न मूल्यों के प्रतीक खींचे जाते हैं, लेकिन एक ही समय में सब कुछ व्यवस्थित होता है कि खिलाड़ी सोचता है कि प्रत्येक प्रतीक के गिरने की संभावना समान है। वास्तव में (पुरानी मशीनों में - यंत्रवत्, और आधुनिक में - एक कार्यक्रम की मदद से) प्रत्येक दृश्य पहिया के पीछे वर्तमान छिपा होता है, जिस पर मूल्यवान प्रतीक दुर्लभ होते हैं, और अक्सर सस्ते होते हैं।

स्लॉट मशीन पर 777 प्राप्त करने की संभावना किन्हीं तीन चेरी प्राप्त करने की संभावना से कम है, और अंतर दस गुना हो सकता है।

इस अर्थ में "खुली" लॉटरी अधिक ईमानदार हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, प्रारूप व्यापक है जब टिकट में या तो संख्याओं का एक क्रम होता है, या इसे खरीदार द्वारा स्वयं चुना जाता है। रूस में, उदाहरण के लिए, लोट्टो प्रारूप को प्राथमिकता दी जाती है: टिकट पर संख्याओं की कई पंक्तियाँ होती हैं, और आपको उनमें से किसी एक (एक साधारण जीत), या उन सभी (जैकपॉट) को बंद करने की आवश्यकता होती है।सिद्धांत रूप में, एक लॉटरी कंपनी गैर-विजेता टिकटों को "विशेष रूप से" प्रिंट और बेच सकती है, और फिर गेंदों के क्रम में हेरफेर कर सकती है, लेकिन व्यवहार में बड़ी कंपनियां ऐसा नहीं करती हैं: लॉटरी आयोजक हमेशा जीतते हैं, और खराब होने के मामले में घोटाला विश्वास बहुत बड़ा होगा।

यदि आप जुआ खेलने का इरादा रखते हैं, तो इसके यांत्रिकी को समझना और यह सुनिश्चित करना उपयोगी होगा कि परिणामों पर कोई हितधारक प्रभाव नहीं है।

नियम 3. अपने अवसरों को जानें

किसी भी लॉटरी में जैकपॉट की संभावना को एक नियम के रूप में एक सूत्र माना जाता है। लेकिन संभावना की गणना करना, उदाहरण के लिए, लोट्टो में कम से कम एक पंक्ति को बंद करना बहुत ही गैर-तुच्छ है और इसमें एक संपूर्ण लेख, या शायद एक से अधिक की आवश्यकता होगी। इसलिए, वास्तव में, लॉटरी में कुछ पैसे पाने की संभावना इस तथ्य के कारण अधिक है कि अधिकांश लॉटरी में मुख्य के अलावा अतिरिक्त पुरस्कार होते हैं। लेकिन मैं मूल्यांकन में आसानी के लिए जैकपॉट पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

मान लीजिए कि हमने संख्याओं के यादृच्छिक सेट के साथ लॉटरी टिकट खरीदा है। ड्राइंग के दौरान, समान संख्या में गेंदें खींची जाती हैं, और यदि उन पर संख्या टिकट पर संख्याओं के साथ मेल खाती है (किसी भी क्रम में, यह महत्वपूर्ण है!), तो हम जीत गए। इस तरह की जीत की संभावना की गणना निम्नानुसार की जाती है:

जीतने की प्रायिकता = 1 गेंदों के संयोजन की संख्या।

क्रम को ध्यान में रखे बिना संयोजनों की संख्या को गणित में संयोजनों की संख्या कहा जाता है, और यदि आप इसकी गणना करने के सूत्र को जानते और समझते हैं, तो आप इस लेख से कुछ भी नया नहीं सीखेंगे। यदि आप गणितज्ञ नहीं हैं, तो इस तरह की ऑनलाइन सेवा का उपयोग करना आसान होगा। ऐसी सेवाएं (और उनके संचालन में अंतर्निहित सूत्र) दो नंबर प्रदान करती हैं:

• n एक आइटम के लिए संभावित विकल्पों की कुल संख्या है। हमारे मामले में, वस्तु एक गेंद है, और लॉटरी में जितनी संख्याएँ हैं, उतनी ही गेंदें हैं, उस पर और नीचे।
• k एक नमूने में मदों की संख्या है। हमारे मामले में - लॉटरी कितनी गेंदें निकालती है और टिकट में कितनी संख्याएँ होती हैं (यह माना जाता है कि ये मान समान हैं)।

इसलिए, यदि हमारे पास 5 गेंदों की लॉटरी है, और लॉटरी में 1 से 50 तक की संख्या वाली कुल 50 गेंदें हैं, तो इसमें जीतने की संभावना k = 5 के लिए संयोजनों की संख्या के एक के बराबर होगी। और n = 50, अर्थात्:

1 ÷ 2 118 760 = 0, 00005%.

आइए एक अधिक जटिल मामले पर विचार करें - लोकप्रिय अमेरिकी पॉवरबॉल लॉटरी, जिसमें जैकपॉट का मूल्य एक बिलियन डॉलर से अधिक था। नियमों के अनुसार, 5 संख्याओं (1 से 69 तक) का एक मूल नमूना है, साथ ही एक अतिरिक्त संख्या (1 से 26 तक) है। जीतने के लिए आपको सभी 6 नंबरों का मिलान करना होगा।

यह समझना आसान है कि पहला सेट प्राप्त करने की संभावना k = 5 और n = 69 (अर्थात 11 238 513) के संयोजनों की संख्या के बराबर है, और अंतिम गेंद को "पकड़ने" की संभावना है 26 में 1। सब कुछ एक साथ प्राप्त करने के लिए, इन अवसरों को गुणा किया जाना चाहिए क्योंकि घटनाएं एक ही समय में होनी चाहिए:

(1 ÷ 11 238 513) × (1 ÷ 26) = 1 ÷ 292 201 338 = 0, 0000003%.

दूसरे शब्दों में, यदि 30 करोड़ लोग टिकट खरीदते हैं, तो केवल एक ही जीतेगा। इससे पता चलता है कि जैकपॉट अक्सर क्यों नहीं जीता जाता है: लॉटरी आयोजक बस इतने सारे टिकट नहीं छापते कि जीतने वाले को पकड़ा जाए।

नियम 4. समय पर शुरू करें

वैसे, पॉवरबॉल लॉटरी टिकट की कीमत $ 2 है। उस लाभ की गणना करने के लिए जो टिकट की खरीद का भुगतान करेगा, आपको टिकट की कीमत को 292 201 338 से गुणा करना होगा।

गणना के बारे में और जानें। यह पहले बिंदु का एक संदर्भ है, जो कहता है कि किसी समाधान का लाभ उसके मूल्य गुणा संभावना के बराबर है। यदि हमारे पास 1/X की प्रायिकता और N के मान वाली कोई घटना है, तो लाभ N/X होगा। हम $ 2 खर्च करते हैं और गणना कर सकते हैं कि टिकट की खरीद पर जीत का कितना भुगतान होगा:

• 2 = एन एक्स।
• एन = 2 × एक्स, और एक्स यहां 292 201 338 के बराबर है, जैसा कि पिछले भाग से गणना द्वारा दिखाया गया है

आपको करों को भी ध्यान में रखना होगा (पता लगाएं कि घोषित राशि का कितना प्रतिशत वास्तव में विजेता के पास जाएगा, आमतौर पर लगभग 70%)। यानी जैकपॉट कम से कम 850 मिलियन डॉलर का होना चाहिए और इस लॉटरी में ऐसा होता है। यह कैसा है, मैंने शुरुआत में ही कहा था कि इस तरह के गुणन से लाभ हमेशा खिलाड़ी के पक्ष में नहीं होता है?

तथ्य यह है कि यदि जैकपॉट की ड्राइंग नहीं हुई, तो यह अगली बार में चला जाता है, और इसलिए पैसा कुछ समय के लिए जमा हो जाता है, और टिकटों की बिक्री जारी रहती है।

एक आदर्श स्थिति में, आपको बिना टिकट खरीदे सभी खेलों को छोड़ देना चाहिए, और फिर ठीक उसी खेल के लिए खरीदना चाहिए जिसमें वास्तव में ड्रॉ होगा।

लेकिन इसे पहले से जानना असंभव है। हालांकि, जैसे ही जैकपॉट बताई गई राशि से बड़ा होगा, आप टिकट खरीदना शुरू कर सकते हैं। ऐसे में गणित की दृष्टि से यह खेल फायदेमंद रहेगा।

आप यह भी समझ सकते हैं कि क्या अधिक लाभदायक है: एक गेम के लिए कई टिकट खरीदें या कई गेम के लिए एक टिकट खरीदें? आइए इसके बारे में सोचते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत में, असंबंधित घटनाओं की अवधारणा है। इसका मतलब है कि एक घटना का परिणाम किसी भी तरह से दूसरे के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, यदि आप दो पासे फेंकते हैं, तो उन पर गिरने वाली संख्याएं एक-दूसरे से संबंधित नहीं हैं: यादृच्छिकता की दृष्टि से, एक पासा दूसरे के व्यवहार को प्रभावित नहीं करता है। लेकिन अगर आप डेक से दो कार्ड खींचते हैं, तो ये घटनाएं जुड़ी हुई हैं, क्योंकि पहला कार्ड निर्धारित करता है कि कौन से कार्ड डेक में रहते हैं।

इसके बारे में एक लोकप्रिय गलत धारणा को प्लेयर एरर कहा जाता है। यह असंबंधित घटनाओं के जुड़ाव के व्यक्ति के सहज ज्ञान युक्त विचार से उत्पन्न होता है।

उदाहरण के लिए, यदि कोई सिक्का लगातार कई बार ऊपर आता है, तो हम मानते हैं कि इससे चित आने की संभावना बढ़ जाएगी, लेकिन वास्तव में ऐसा नहीं है, संभावनाएं हमेशा समान होती हैं।

लॉटरियों में वापसी: विभिन्न खेल असंबंधित घटनाएँ हैं क्योंकि गेंदों का क्रम फिर से चुना जाता है। इसलिए किसी विशेष लॉटरी को जीतने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि आपने इसे पहले कितनी बार खेला है। सहज रूप से स्वीकार करना बहुत मुश्किल है, क्योंकि हर बार जब कोई व्यक्ति टिकट खरीदता है, तो वह सोचता है: "ठीक है, अब, आप जितने भाग्यशाली हो सकते हैं, मैं बहुत समय से खेल रहा हूं!" लेकिन नहीं, संभाव्यता सिद्धांत एक हृदयहीन चीज है।

लेकिन एक गेम के लिए कई टिकट खरीदने से आपकी संभावना आनुपातिक रूप से बढ़ जाती है, क्योंकि एक गेम के टिकट जुड़े हुए हैं: यदि एक जीतता है, तो दूसरा (एक अलग संयोजन के साथ) निश्चित रूप से नहीं जीतेगा। 10 टिकट खरीदने की संभावना 10 गुना बढ़ जाती है यदि टिकटों पर सभी संयोजन अलग-अलग होते हैं (वास्तव में, यह लगभग हमेशा होता है)। दूसरे शब्दों में, यदि आपके पास 10 टिकटों के लिए पैसा है, तो इसे 10 गेम के टिकट के साथ खरीदने के बजाय इसे एक गेम के लिए खरीदना बेहतर है।

टिप्पणियों में आपके स्पष्टीकरण के बाद, यह कहना उचित होगा कि एन खेलों की श्रृंखला में कम से कम एक गेम जीतने की संभावना किसी एक विशेष गेम में जीतने की संभावना से अधिक है। हालाँकि, यह अभी भी एक गेम के लिए N टिकट खरीदकर जीतने की संभावना से थोड़ा कम है, लेकिन अंतर काफी छोटा है।

यदि आप जुए के लिए महीने में एक बार अपने वेतन से टिकट लेते हैं, तो, सबसे अधिक संभावना है, खेल की प्रक्रिया ही आपके लिए मायने रखती है। गणितीय रूप से, इस पैसे को बचाने और वर्ष के अंत में एक बार में 12 टिकट खरीदने के लिए अधिक लाभदायक है, हालांकि, निश्चित रूप से, ऐसी स्थिति में हारना अधिक कुचल माना जाएगा।

नियम 5. समय पर रुकें

और अंत में, मैं यह कहना चाहता हूं कि किसी व्यक्ति के दृष्टिकोण से 1/100 की संभावना भी बहुत कम है। यदि आप महीने में एक बार इस संभावना की जांच करते हैं, तो आप 8 वर्षों में 100 ऐसे चेक करेंगे। कल्पना कीजिए कि कितनी बार संभावना 1 / 1,000,000 या 1 / 100,000,000 कम है? इसलिए, हमेशा केवल उस राशि पर दांव लगाएं, जिसे आप पूरी तरह से खोने से डरते नहीं हैं, और अधिक रूबल नहीं।

अंत में, जैसा कि मैंने वादा किया था, मैं लेख की शुरुआत से बयान का आकलन दूंगा। ये डेटा युनाइटेड स्टेट्स के लिए हैं, क्योंकि स्टेटमेंट विशेष रूप से इस देश के लिए तैयार किया गया था, इसके अलावा, हमने ऊपर अमेरिकी लॉटरी के लिए ऑड्स की गणना पहले ही कर ली है।

आंकड़ों के अनुसार, 2016 में संयुक्त राज्य अमेरिका में संयुक्त राज्य अमेरिका में लगभग 17,000 हत्याएं हुईं, हम इसे एक औसत आंकड़ा मानेंगे। और यह भी मान लें कि एक व्यक्ति हत्या के लिए एक संभावित लक्ष्य है जब वह पहले से ही एक वयस्क है, लेकिन बूढ़ा नहीं है - यानी अपने जीवन के लगभग 50 वर्ष। इसका मतलब है कि इन 50 वर्षों में लगभग 850,000 हत्याएं की जाएंगी। संयुक्त राज्य की जनसंख्या संयुक्त राज्य अमेरिका की जनसंख्या 325.7 मिलियन है, इसलिए 850,000 के यादृच्छिक नमूने में शामिल होने की संभावना है:

850 000 ÷ 325 700 000 = 1 ÷ 383 = 0, 3%.

लेकिन रुकिए, यह सिर्फ मारे जाने का मौका है।अर्थात्, लॉटरी टिकट पाने के रास्ते पर? मान लीजिए कि आप हर सप्ताह काम के लिए घर से निकलते हैं, एक सप्ताह के अंत में बाहर जाते हैं, और अगले दिन घर पर रहते हैं। औसत सप्ताह में 6 दिन या महीने में लगभग 26 दिन होता है। और महीने में एक बार आप लॉटरी टिकट खरीदते हैं। इसलिए, प्राप्त संख्याओं को भी 26 से विभाजित किया जाना चाहिए:

(1 ÷ 383) ÷ 26 = 1 ÷ 9 958 = 0, 01%.

और इतने मोटे अनुमान के साथ भी, यह जीत की तुलना में काफी अधिक संभावना है। अधिक सटीक रूप से, यह 30,000 गुना अधिक होने की संभावना है। वास्तव में, निश्चित रूप से, संख्याएं भिन्न होंगी: एक व्यक्ति न केवल सड़क पर खतरे में है, कुछ लोग दूसरों की तुलना में अधिक जोखिम में हैं, महिलाओं को पुरुषों की तुलना में लगभग चार गुना कम बार मारा जाता है। लेकिन सिद्धांत इस प्रकार है।

यद्यपि अच्छी घटनाओं में विश्वास के बिना और बुरे लोगों की निरंतर अपेक्षा के साथ जीना, यहाँ तक कि गणित को जानना भी सबसे अच्छा विकल्प नहीं है।