सबसे उबाऊ विज्ञान के बारे में नग्न सांख्यिकी सबसे दिलचस्प किताब है

2024 लेखक: Malcolm Clapton | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 03:57

किसने कहा कि सांख्यिकी एक नीरस और बेकार विज्ञान है? चार्ल्स व्हीलन का तर्क है कि यह मामले से बहुत दूर है। आज हम उनकी पुस्तक का एक अंश प्रकाशित करते हैं कि कैसे एक कार जीतें, एक बकरी नहीं, आंकड़ों का उपयोग करके, और समझें कि अंतर्ज्ञान आपको गुमराह कर सकता है।

मोंटी हॉल पहेली

द मोंटी हॉल मिस्ट्री संभाव्यता सिद्धांत में एक प्रसिद्ध समस्या है जिसने लेट्स मेक ए डील नामक गेम शो में प्रतिभागियों को चकित कर दिया, जो अभी भी कई देशों में लोकप्रिय है, जिसका प्रीमियर संयुक्त राज्य अमेरिका में 1963 में हुआ था। (मुझे याद है कि बचपन में मैं हर बार इस शो को देखता था, जब मैं बीमारी के कारण स्कूल नहीं जाता था।) पुस्तक के परिचय में, मैंने पहले ही बताया कि यह गेम शो सांख्यिकीविदों के लिए दिलचस्प हो सकता है। इसके प्रत्येक अंक के अंत में, फाइनल में पहुंचने वाला प्रतिभागी तीन बड़े दरवाजों के सामने मोंटी हॉल के साथ खड़ा था: डोर नंबर 1, डोर नंबर 2 और डोर नंबर 3। मोंटी हॉल ने फाइनलिस्ट को समझाया कि एक के पीछे इन दरवाजों में से एक बहुत मूल्यवान पुरस्कार था - उदाहरण के लिए एक नई कार और अन्य दो के पीछे एक बकरी। फाइनलिस्ट को दरवाजों में से किसी एक को चुनना था और जो उसके पीछे था उसे प्राप्त करना था। (मुझे नहीं पता कि शो में भाग लेने वालों में कम से कम एक व्यक्ति था जो बकरी प्राप्त करना चाहता था, लेकिन सादगी के लिए, हम मान लेंगे कि अधिकांश प्रतिभागियों ने एक नई कार का सपना देखा था।)

जीतने की प्रारंभिक संभावना निर्धारित करना काफी आसान है। तीन दरवाजे हैं, दो एक बकरी छुपाते हैं, और तीसरा एक कार छुपाता है। जब शो में कोई प्रतिभागी मोंटी हॉल के साथ इन दरवाजों के सामने खड़ा होता है, तो उसके पास उस दरवाजे को चुनने का तीन में से एक मौका होता है जिसके पीछे कार स्थित होती है। लेकिन, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, लेट्स मेक ए डील में एक पकड़ है जिसने इस टीवी कार्यक्रम और इसके प्रस्तुतकर्ता को संभाव्यता सिद्धांत पर साहित्य में अमर कर दिया। शो के फाइनलिस्ट द्वारा तीन दरवाजों में से एक की ओर इशारा करने के बाद, मोंटी हॉल बचे हुए दो दरवाजों में से एक को खोलता है, जिसके पीछे हमेशा एक बकरी रहती है। फिर मोंटी हॉल फाइनलिस्ट से पूछता है कि क्या वह अपना मन बदलना चाहता है, यानी पहले से चुने गए बंद दरवाजे को दूसरे बंद दरवाजे के पक्ष में छोड़ना चाहता है।

बता दें, उदाहरण के लिए, कि प्रतिभागी ने द्वार # 1 की ओर इशारा किया। फिर मोंटी हॉल ने दरवाजा # 3 खोला, जिसके पीछे बकरी छिपी हुई थी। दो दरवाजे, द्वार # 1 और द्वार # 2, बंद रहते हैं। यदि मूल्यवान पुरस्कार डोर नंबर 1 के पीछे होता, तो फाइनलिस्ट उसे जीत लेता, और अगर डोर नंबर 2 के पीछे होता, तो वह हार जाता। यह इस बिंदु पर है कि मोंटी हॉल खिलाड़ी से पूछता है कि क्या वह अपनी प्रारंभिक पसंद बदलना चाहता है (इस मामले में, द्वार # 2 के पक्ष में द्वार # 1 को छोड़ दें)। बेशक, आपको याद होगा कि दोनों दरवाजे अभी भी बंद हैं। प्रतिभागी को केवल एक नई जानकारी मिली कि बकरी दो दरवाजों में से एक के पीछे समाप्त हो गई जिसे उसने नहीं चुना था।

क्या फाइनलिस्ट को डोर # 2 के पक्ष में शुरुआती पसंद को छोड़ देना चाहिए?

मैं जवाब देता हूं: हां, यह होना चाहिए। यदि वह मूल पसंद पर कायम रहता है, तो एक मूल्यवान पुरस्कार जीतने की प्रायिकता होगी; यदि वह अपना विचार बदलता है और द्वार संख्या 2 की ओर इशारा करता है, तो एक मूल्यवान पुरस्कार जीतने की संभावना ⅔ होगी। यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं, तो पढ़ें।

मैं मानता हूं कि यह उत्तर पहली नज़र में स्पष्ट नहीं है। ऐसा लगता है कि फाइनलिस्ट शेष दो दरवाजों में से जो भी चुनता है, दोनों ही मामलों में एक मूल्यवान पुरस्कार प्राप्त करने की संभावना है। तीन बंद दरवाजे हैं। सबसे पहले, उनमें से किसी के पीछे एक मूल्यवान पुरस्कार छिपे होने की प्रायिकता है। क्या फाइनलिस्ट के दूसरे बंद दरवाजे के पक्ष में अपनी पसंद बदलने के फैसले से कोई फर्क पड़ता है?

बेशक, पकड़ यह है कि मोंटी हॉल जानता है कि हर दरवाजे के पीछे क्या है।अगर फाइनलिस्ट दरवाजा # 1 चुनता है और वास्तव में उसके पीछे एक कार है, तो मोंटी हॉल अपने पीछे छिपी बकरी को प्रकट करने के लिए दरवाजा # 2 या दरवाजा # 3 खोल सकता है।

यदि फाइनलिस्ट द्वार 1 का चयन करता है और कार द्वार 2 के पीछे है, तो मोंटी हॉल द्वार 3 खोलेगा।

यदि फाइनलिस्ट द्वार 1 की ओर इशारा करता है और कार द्वार 3 के पीछे है, तो मोंटी हॉल द्वार 2 खोलेगा।

प्रस्तुतकर्ता द्वारा किसी एक दरवाजे को खोलने के बाद अपना विचार बदलकर, फाइनलिस्ट को एक के बजाय दो दरवाजे चुनने का लाभ मिलता है। मैं आपको इस विश्लेषण की सत्यता के बारे में तीन अलग-अलग तरीकों से समझाने की कोशिश करूंगा।

पहला अनुभवजन्य है। 2008 में, न्यूयॉर्क टाइम्स के स्तंभकार जॉन टायर्नी ने मोंटी हॉल घटना के बारे में लिखा था। उसके बाद, प्रकाशन के कर्मचारियों ने एक इंटरैक्टिव प्रोग्राम विकसित किया जो आपको इस गेम को खेलने की अनुमति देता है और स्वतंत्र रूप से यह तय करता है कि आपकी प्रारंभिक पसंद को बदलना है या नहीं। (कार्यक्रम में छोटी बकरियां और छोटी कारें भी शामिल हैं जो दरवाजे के पीछे से दिखाई देती हैं।) कार्यक्रम आपकी जीत को उस स्थिति में रिकॉर्ड करता है जब आप अपनी प्रारंभिक पसंद बदलते हैं, और उस स्थिति में जब आप असंबद्ध रहते हैं। मैंने अपनी एक बेटी को इस खेल को 100 बार खेलने के लिए भुगतान किया, हर बार उसकी मूल पसंद बदल दी। मैंने हर बार मूल निर्णय को ध्यान में रखते हुए उसके भाई को भी 100 बार खेल खेलने के लिए भुगतान किया। बेटी 72 बार जीती; उसके भाई 33 बार। प्रत्येक प्रयास को दो डॉलर के साथ पुरस्कृत किया गया था।

गेम लेट्स मेक ए डील के एपिसोड से साक्ष्य एक ही पैटर्न दिखाता है। द ड्रंकर्ड्स वॉक के लेखक लियोनार्ड म्लोडिनोव के अनुसार, जिन फाइनलिस्ट ने अपनी प्रारंभिक पसंद को बदल दिया, उनके जीतने की संभावना उन लोगों की तुलना में लगभग दोगुनी थी, जो असंबद्ध थे।

इस घटना के लिए मेरी दूसरी व्याख्या अंतर्ज्ञान पर आधारित है। बता दें कि खेल के नियम थोड़े बदल गए हैं। उदाहरण के लिए, फाइनलिस्ट तीन दरवाजों में से एक को चुनकर शुरू करता है: द्वार # 1, द्वार # 2, और द्वार # 3, जैसा कि मूल रूप से योजना बनाई गई थी। हालांकि, फिर, किसी भी दरवाजे को खोलने से पहले, जिसके पीछे बकरी छिपी हुई है, मोंटी हॉल पूछता है: "क्या आप दो शेष दरवाजे खोलने के बदले अपनी पसंद को छोड़ने के लिए सहमत हैं?" इसलिए, यदि आपने द्वार # 1 चुना है, तो आप द्वार # 2 और द्वार # 3 के पक्ष में अपना विचार बदल सकते हैं। यदि आपने पहले द्वार # 3 की ओर इशारा किया है, तो आप द्वार # 1 और द्वार # 2 का चयन कर सकते हैं। और इसी तरह।

यह आपके लिए विशेष रूप से कठिन निर्णय नहीं होगा: यह बिल्कुल स्पष्ट है कि आपको शेष दो दरवाजों के पक्ष में प्रारंभिक विकल्प को छोड़ देना चाहिए, क्योंकि इससे से तक जीतने की संभावना बढ़ जाती है। सबसे दिलचस्प बात यह है कि यह, संक्षेप में, मोंटी हॉल आपको एक वास्तविक खेल में पेश करता है, जिसके पीछे बकरी छिपी हुई है। मूल तथ्य यह है कि यदि आपको दो दरवाजे चुनने का अवसर दिया गया, तो उनमें से एक के पीछे एक बकरी छिपी होगी। जब मोंटी हॉल उस दरवाजे को खोलता है जिसके पीछे बकरी है, और उसके बाद ही आपसे पूछता है कि क्या आप अपनी प्रारंभिक पसंद को बदलने के लिए सहमत हैं, तो इससे आपके मूल्यवान पुरस्कार जीतने की संभावना काफी बढ़ जाती है! मूल रूप से, मोंटी हॉल आपको बता रहा है, "उन दो दरवाजों में से एक के पीछे एक मूल्यवान पुरस्कार के छिपे होने की संभावना है जिसे आपने पहली बार नहीं चुना था, जो अभी भी ⅓ से अधिक है!"

आप इसकी इस तरह कल्पना कर सकते हैं। मान लीजिए कि आपने द्वार # 1 की ओर इशारा किया। उसके बाद, मोंटी हॉल आपको द्वार # 2 और द्वार # 3 के पक्ष में मूल निर्णय को त्यागने का अवसर देता है। आप सहमत हैं और आपके पास दो दरवाजे हैं, जिसका अर्थ है कि आपके पास है हर कारण की संभावना के साथ एक मूल्यवान पुरस्कार जीतने की उम्मीद करता है, नहीं। क्या होता अगर इस समय मोंटी हॉल ने दरवाजा 3 खोल दिया होता - "तुम्हारा" दरवाजों में से एक - और उसके पीछे एक बकरी थी? क्या यह तथ्य आपके निर्णय पर आपके विश्वास को हिला देगा? बिलकूल नही। अगर कार दरवाजे 3 के पीछे छिपी होती, तो मोंटी हॉल दरवाजा 2 खोल देता! वह आपको कुछ नहीं दिखाएगा।

जब खेल को नॉक-ऑफ परिदृश्य के अनुसार खेला जाता है, तो मोंटी हॉल वास्तव में आपको उस दरवाजे के बीच एक विकल्प देता है जिसे आपने शुरुआत में निर्दिष्ट किया था, और दो शेष दरवाजे, जिनमें से एक कार हो सकती है। जब मोंटी हॉल उस दरवाजे को खोलता है जिसके पीछे बकरी छुपी हुई है, तो वह सिर्फ आपको दिखाकर एक एहसान कर रहा है कि बाकी दो दरवाजों में से कौन सी कार नहीं है। आपके पास निम्नलिखित दोनों परिदृश्यों में जीतने की समान संभावनाएं हैं।

1. द्वार # 1 का चयन करना, फिर द्वार # 2 और द्वार # 3 पर "स्विच" करने के लिए सहमत होना, किसी भी दरवाजे के खुलने से पहले ही।
2. द्वार # 1 का चयन करना, फिर मोंटी हॉल के बाद दरवाजे # 2 पर "स्विच" करने के लिए सहमत होना आपको दरवाजे # 3 के पीछे बकरी दिखाता है (या मोंटी हॉल के बाद दरवाजा # 3 चुनना आपको दरवाजा # 2 के पीछे बकरी दिखाता है)।

दोनों ही मामलों में, मूल निर्णय को छोड़ने से आपको एक से अधिक दो दरवाजों का लाभ मिलता है, और इस प्रकार आप से तक जीतने की संभावना को दोगुना कर सकते हैं।

मेरा तीसरा विकल्प उसी मूल अंतर्ज्ञान का अधिक कट्टरपंथी संस्करण है। मान लें कि मोंटी हॉल आपको 100 दरवाजों में से एक (तीन में से एक के बजाय) चुनने के लिए कहता है। आपके ऐसा करने के बाद द्वार #47 की ओर इशारा करते हुए कहें तो वह बचे हुए 98 दरवाजे खोल देता है, जिससे बकरियां खुल जाएंगी। अब केवल दो दरवाजे बंद रहते हैं: आपका दरवाजा नंबर 47 और दूसरा, उदाहरण के लिए, दरवाजा नंबर 61। क्या आपको अपनी प्रारंभिक पसंद छोड़ देनी चाहिए?

हाँ बिल्कु्ल! इस बात की 99 प्रतिशत संभावना है कि कार किसी ऐसे दरवाजे के पीछे है जिसे आपने पहले नहीं चुना था। इनमें से 98 दरवाजे खोलकर मोंटी हॉल ने आपके साथ शिष्टाचार किया, उनके पीछे कोई कार नहीं थी। इस प्रकार, 100 में से केवल 1 मौका है कि आपकी प्रारंभिक पसंद (द्वार # 47) सही होगी। वहीं, 100 में से 99 मौका है कि आपकी शुरुआती पसंद गलत थी। यदि ऐसा है, तो कार शेष दरवाजे के पीछे स्थित है, अर्थात द्वार संख्या 61। यदि आप 100 में से 99 बार जीतने की संभावना के साथ खेलना चाहते हैं, तो आपको द्वार संख्या 61 पर "स्विच" करना चाहिए।

संक्षेप में, यदि आपको कभी लेट्स मेक ए डील खेलना है, तो आपको निश्चित रूप से अपने मूल निर्णय पर पीछे हटना होगा जब मोंटी हॉल (या जो कोई भी उसकी जगह लेगा) आपको एक विकल्प देता है। इस उदाहरण से एक अधिक सार्वभौमिक निष्कर्ष यह है कि कुछ घटनाओं की संभावना के बारे में आपका सहज अनुमान कभी-कभी आपको गुमराह कर सकता है।